数学ゴールデンという数学オリンピックを題材にした漫画が、漫画アプリ内で無料公開されていたので読んでいたら下のような問題がありました
次の等式を満たす正の実数xを求めよ $$\boxed{x+\sqrt{x(x+1)}+ \sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2}$$
答えが漫画の中に載ってなかったので解いてみました。高校数学の問題を解くのが久しぶりだったので、どのように考えて解いたか記載したいと思います。
パッと見て因数分解できることに気づく
$$(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})( \sqrt{x}+\sqrt{x+2})=2 \text{・・・①}$$
ここからどうするか考えるが、とりあえず左辺のルートを無くす方向で考える。
両辺に$$(\sqrt{x}-\sqrt{x+1})( \sqrt{x}-\sqrt{x+2})$$を掛ける。
$$(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})( \sqrt{x}+\sqrt{x+2})(\sqrt{x}-\sqrt{x+1})( \sqrt{x}-\sqrt{x+2})=2(\sqrt{x}-\sqrt{x+1})( \sqrt{x}-\sqrt{x+2})$$
左辺を計算すると $$(x-(x+1))(x-(x+2))=(-1)\times(-2)=2$$
よって $$2(\sqrt{x}-\sqrt{x+1})( \sqrt{x}-\sqrt{x+2})=2$$
両辺を2で割って $$(\sqrt{x}-\sqrt{x+1})( \sqrt{x}-\sqrt{x+2})=1 \text{・・・②}$$
①と②から連立方程式的なことができるんじゃないかと考える。
出題を \(\sqrt{x}\) でまとめると
$$x+\sqrt{x}(\sqrt{x+1}+ \sqrt{x+2})+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2 \text{・・・③}$$
②を展開して
$$x-\sqrt{x}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2})+\sqrt{(x+1)(x+2)}=1 \text{・・・④}$$
③+④をすると $$2x+2\sqrt{(x+1)(x+2)}=3$$
変形すると $$2\sqrt{(x+1)(x+2)}=3-2x$$
両辺を2乗する $$4(x+1)(x+2)=9-12x+4x^{2}$$
左辺を展開して整理すると $$4x^{2}+12x+8=4x^{2}-12x+9$$
整理すると $$24x=1 \implies x=\frac{1}{24}$$ となります。
検算してみるとあってました。
「数学ゴールデン 4話 解説」と検索すると下のサイトに解説が書いていました。簡潔ですばらしい解説です。
解がひとつしかないところを考察していて、しっかり考えて解説してるなーと思いました。この問題はxが正の実数で、xが増えていくと左辺が単純増加していくので、感覚で解がひとつしかないことはわるのですが、ちゃんと考察しないといけませんね。
https://oshima-gakushujuku.com/blog/math/mathematics_golden_03/
どういう方向性で解いていくかは個性ですが、私はこの問題をみたときに因数分解できるので、それを使って解いていく方法しか思いつきませんでした。
この問題は数学オリンピックでいうと、どのくらいの難易度なんでしょうか？私が解けたということはそれほどの難易度じゃない気もします。
この手の問題をみると、予備校時代に数学好きの友達が「大学への数学」の問題を解いていたことを思い出します。
仕事柄、情報オリンピックの問題はよく解くのですが、数学オリンピックの問題は解いたことがありません。
情報オリンピックや競技プログラミングの上級者は、数学オリンピック出身のひとも多いので、数学好きの方は是非、競技プログラミングも試してみてください。
数学オリンピックの漫画があるなら競技プログラミングの漫画が出現するかも知れませんね。